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(Gegenläufigkeitssatz)
K (Sätze von Green und Singmaster)
 
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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=== Gegenläufigkeitssatz ===
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=== Satz von Green ===
  
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Durchläuft der Weg <math>\gamma: [a, b[ \; \cap C \rightarrow V</math> mit <math>C \subseteq \mathbb{R}</math> die Kanten aller <math>n</math>-Würfel mit der Seitenlänge d0 im <math>n</math>-Volumen <math>V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_{\ge 2}</math> genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der <math>n</math>-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für <math>D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x</math> und <math>{V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}</math>
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Mit <math>h</math>-Gebiet <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) - \gamma(s)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in \mathbb{D}, \mathbb{D}^{-} := \{(x, y) \in \mathbb{D} : (x + h, y + h) \in \mathbb{D}\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D}</math> bei Wahl von <math>\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{s})</math> gilt mit <math>s \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> mit ggf. nicht stetigen Ableitungen <math>{\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x</math> und <math>{\downarrow} v/{\downarrow} y</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}.</math></div>
  
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==== Beweis: ====
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Der Beweis wird nur für <math>\mathbb{D}:= \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial \mathbb{D} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da das jeweils um <math>\check{\pi}</math> gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem <math>h</math>-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf <div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.</math></div> Unter Vernachlässigung der Teile von <math>\gamma</math> mit <math>{\downarrow}x = 0</math> zum Kurvenintegral wie von <math>s := h(u(r, g(r)) - u(t, g(t)))</math> gilt<div style="text-align:center;"><math>-{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-s={\uparrow}_{t}^{r}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{t}^{r}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{t}^{r}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square</math></div>
  
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.</math></div>
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=== Satz von Singmaster ===
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Es gibt maximal 8 verschiedene Binomialkoeffizienten gleichen Werts > 1.
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von <math>V\times{V}_{\curvearrowright}</math> nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in <math>{\partial}^{\acute{n}}V.\square</math>
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Die Existenz ist klar wegen <math>\tbinom{3003}{1} = \tbinom{78}{2} = \tbinom{15}{5} = \tbinom{14}{6}</math> und dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks. Mit <math>p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}}, a,b ,c, d \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}, \hat{a} \le r := p - b, \hat{a} < \hat{c} \le n := p - d, b < d</math> und <math>s \notin \mathbb{P}</math> für alle <math>s \in [\max(r - \acute{a},\grave{n}), r]</math> ergeben die Stirlingformel <math>{n!}^2\sim\pi(\hat{n}+\tilde{3}){(\tilde{\epsilon}n)}^{\hat{n}}</math> und der Primzahlsatz <math>\omega\tbinom{r}{a} \le {}_\epsilon\omega\tbinom{n}{c}</math> für <math>p \rightarrow \omega.\square</math>
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== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Aktuelle Version vom 1. Mai 2024, 02:04 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Satz von Green

Mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) - \gamma(s)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in \mathbb{D}, \mathbb{D}^{-} := \{(x, y) \in \mathbb{D} : (x + h, y + h) \in \mathbb{D}\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D} }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{s}) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ s \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit ggf. nicht stetigen Ableitungen [math]\displaystyle{ {\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow} v/{\downarrow} y }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Beweis:

Der Beweis wird nur für [math]\displaystyle{ \mathbb{D}:= \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial \mathbb{D} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da das jeweils um [math]\displaystyle{ \check{\pi} }[/math] gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Unter Vernachlässigung der Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}x = 0 }[/math] zum Kurvenintegral wie von [math]\displaystyle{ s := h(u(r, g(r)) - u(t, g(t))) }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ -{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-s={\uparrow}_{t}^{r}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{t}^{r}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{t}^{r}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square }[/math]

Satz von Singmaster

Es gibt maximal 8 verschiedene Binomialkoeffizienten gleichen Werts > 1.

Beweis:

Die Existenz ist klar wegen [math]\displaystyle{ \tbinom{3003}{1} = \tbinom{78}{2} = \tbinom{15}{5} = \tbinom{14}{6} }[/math] und dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks. Mit [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}}, a,b ,c, d \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}, \hat{a} \le r := p - b, \hat{a} \lt \hat{c} \le n := p - d, b \lt d }[/math] und [math]\displaystyle{ s \notin \mathbb{P} }[/math] für alle [math]\displaystyle{ s \in [\max(r - \acute{a},\grave{n}), r] }[/math] ergeben die Stirlingformel [math]\displaystyle{ {n!}^2\sim\pi(\hat{n}+\tilde{3}){(\tilde{\epsilon}n)}^{\hat{n}} }[/math] und der Primzahlsatz [math]\displaystyle{ \omega\tbinom{r}{a} \le {}_\epsilon\omega\tbinom{n}{c} }[/math] für [math]\displaystyle{ p \rightarrow \omega.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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