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(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante)
K (Sätze von Green und Singmaster)
 
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Größte-Primzahl-Kriterium ===
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=== Satz von Green ===
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Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung <math>\widehat{ap}b \pm \hat{s}t</math> mit natürlichen <math>a, b, s</math> und <math>t, abst \ne 0</math> und <math>a + s &gt; 2</math> sowie der (zweit-) größten Primzahl <math>p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b</math> und <math>p \nmid s</math>, so ist sie <math>\omega</math>-transzendent.
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Mit <math>h</math>-Gebiet <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) - \gamma(s)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in \mathbb{D}, \mathbb{D}^{-} := \{(x, y) \in \mathbb{D} : (x + h, y + h) \in \mathbb{D}\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D}</math> bei Wahl von <math>\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{s})</math> gilt mit <math>s \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> mit ggf. nicht stetigen Ableitungen <math>{\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x</math> und <math>{\downarrow} v/{\downarrow} y</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}.</math></div>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Der Nenner von <math>\widehat{aps} (bs \pm apt)</math> ist <math>\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) &gt; \omega</math> aufgrund des Primzahlsatzes.<math>\square </math>
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Der Beweis wird nur für <math>\mathbb{D}:= \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial \mathbb{D} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da das jeweils um <math>\check{\pi}</math> gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem <math>h</math>-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf <div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.</math></div> Unter Vernachlässigung der Teile von <math>\gamma</math> mit <math>{\downarrow}x = 0</math> zum Kurvenintegral wie von <math>s := h(u(r, g(r)) - u(t, g(t)))</math> gilt<div style="text-align:center;"><math>-{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-s={\uparrow}_{t}^{r}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{t}^{r}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{t}^{r}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square</math></div>
  
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=== Transzendenz der Eulerschen Konstante ===
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=== Satz von Singmaster ===
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Mit <math>s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}</math> für <math>x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> sei die Eulersche Konstante <math>\gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx}</math>, wobei Umsummieren <math>\gamma \in \; ]0, 1[</math> zeigt.
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Es gibt maximal 8 verschiedene Binomialkoeffizienten gleichen Werts > 1.
  
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Wird <math>{_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega</math> akzeptiert, so gilt <math>\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)</math> genau.
 
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Die exakte Integration macht <math>-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx</math> für <math>x \in [-1, 1 - \hat{\nu}]</math> und <math>t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> aus der geometrischen Reihe.
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Die Existenz ist klar wegen <math>\tbinom{3003}{1} = \tbinom{78}{2} = \tbinom{15}{5} = \tbinom{14}{6}</math> und dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks. Mit <math>p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}}, a,b ,c, d \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}, \hat{a} \le r := p - b, \hat{a} < \hat{c} \le n := p - d, b < d</math> und <math>s \notin \mathbb{P}</math> für alle <math>s \in [\max(r - \acute{a},\grave{n}), r]</math> ergeben die Stirlingformel <math>{n!}^2\sim\pi(\hat{n}+\tilde{3}){(\tilde{\epsilon}n)}^{\hat{n}}</math> und der Primzahlsatz <math>\omega\tbinom{r}{a} \le {}_\epsilon\omega\tbinom{n}{c}</math> für <math>p \rightarrow \omega.\square</math>
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Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von <math>\hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)</math> für <math>p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}</math> angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.<math>\square</math>
 
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Aktuelle Version vom 1. Mai 2024, 02:04 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Satz von Green

Mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) - \gamma(s)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in \mathbb{D}, \mathbb{D}^{-} := \{(x, y) \in \mathbb{D} : (x + h, y + h) \in \mathbb{D}\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D} }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{s}) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ s \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit ggf. nicht stetigen Ableitungen [math]\displaystyle{ {\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow} v/{\downarrow} y }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Beweis:

Der Beweis wird nur für [math]\displaystyle{ \mathbb{D}:= \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial \mathbb{D} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da das jeweils um [math]\displaystyle{ \check{\pi} }[/math] gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Unter Vernachlässigung der Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}x = 0 }[/math] zum Kurvenintegral wie von [math]\displaystyle{ s := h(u(r, g(r)) - u(t, g(t))) }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ -{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-s={\uparrow}_{t}^{r}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{t}^{r}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{t}^{r}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {\mathbb{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square }[/math]

Satz von Singmaster

Es gibt maximal 8 verschiedene Binomialkoeffizienten gleichen Werts > 1.

Beweis:

Die Existenz ist klar wegen [math]\displaystyle{ \tbinom{3003}{1} = \tbinom{78}{2} = \tbinom{15}{5} = \tbinom{14}{6} }[/math] und dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks. Mit [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}}, a,b ,c, d \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}, \hat{a} \le r := p - b, \hat{a} \lt \hat{c} \le n := p - d, b \lt d }[/math] und [math]\displaystyle{ s \notin \mathbb{P} }[/math] für alle [math]\displaystyle{ s \in [\max(r - \acute{a},\grave{n}), r] }[/math] ergeben die Stirlingformel [math]\displaystyle{ {n!}^2\sim\pi(\hat{n}+\tilde{3}){(\tilde{\epsilon}n)}^{\hat{n}} }[/math] und der Primzahlsatz [math]\displaystyle{ \omega\tbinom{r}{a} \le {}_\epsilon\omega\tbinom{n}{c} }[/math] für [math]\displaystyle{ p \rightarrow \omega.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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