Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Zentrumsverfahren)
(Cauchyscher Integralsatz und Fundamentalsatz der Algebra)
Zeile 1: Zeile 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
= Willkommen bei MWiki =
 
= Willkommen bei MWiki =
−
== Satz des Monats ==
+
=== Cauchyscher Integralsatz ===
−
Das Zentrumsverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}(\omega{\vartheta}^2)</math>.
 
  
−
== Beweis und Algorithmus ==
+
Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> und <math>D \subseteq [a, b]</math> mit einer einfach zusammenhängenden <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>, infinitesimalem <math>h</math> sowie einer holomorphen Funktion <math>f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C}</math> und einem geschlossenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math>, wenn wir <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> mit <math>t \in [a, b[</math> wählen, gilt
−
Beweis und Algorithmus: Sei <math>z := \grave{m} + n</math> und <math>d \in [0, 1]</math> die Dichte von <math>A</math>. Zuerst werden <math>{b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> sowie <math>{A}^{T}y \ge c</math> normiert und skaliert. <math>P_r := \{(x, y)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{z} : {b}^{T}y - {c}^{T}x \le r \in [0, \check{r}], Ax - b \le \underline{r}_m, c - {A}^{T}y \le \underline{r}_n\}</math> habe den Radius <math>\check{r} := s|\min \; \{b_1, ..., b_m, -c_1, ..., -c_n\}|</math> und den Skalierungsfaktor <math>s \in [1, 2]</math>. Es folgt <math>\underline{0}_{z} \in \partial P_{\check{r}}</math>. Nach dem starken Dualitätssatz löst das LP min <math>\{ r \in [0, \check{r}] : (x, y)^T \in P_r\}</math> ebenso die LPs max <math>\{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\}</math>.
+
<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.</math></div>
  
 +
'''Beweis:''' Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit <math>x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f</math> und <math>{A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\}</math>
  
−
Seine Lösung ist der geometrische Schwerpunkt <math>g</math> des Polytops <math>P_0</math>. Mit <math>p_k^* := (\text{min}\,p_k + \text{max}\,p_k)/2</math> für <math>k = 1, ..., \grave{z}</math> wird <math>g</math> durch <math>p_0 := (x_0, y_0, r_0)^T</math> approximiert, bis <math>||\Delta p||_1</math> hinreichend klein ist. Die Lösung <math>t^o(x^o, y^o, r^o)^T</math> des zweidimensionalen LPs min <math>\{ r \in [0, \check{r}] : t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{&gt; 0}, t(x_0, y_0)^T \in P_r\}</math> approximiert <math>g</math> besser und erreicht <math>r \le \check{r}/\sqrt{\grave{z}}</math>. Dies wird mit <math>t^o(x^o, y^o)^T</math> wiederholt, bis ggf. <math>g \in P_0</math> in <math>\mathcal{O}({}_z\check{r} {}_e\check{r}dmn)</math> berechnet ist. Zahlen der Länge <math>\mathcal{O}({\omega})</math> lassen sich bekanntlich nur in <math>\mathcal{O}(\vartheta)</math> abarbeiten.
+
<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square</math></div>
  
 +
=== Fundamentalsatz der Algebra ===
  
−
Das Lösen aller zweidimensionalen LPs <math>\text{min}_k r_k</math> durch Bisektionsverfahren für <math>r_k \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> und <math>k = 1, ..., z</math> in jeweils <math>\mathcal{O}({\vartheta}^2)</math> ermittelt <math>q \in {}^{\omega}\mathbb{R}^k</math> mit <math>q_k := \Delta p_k \Delta r_k/r</math> und <math>r := \text{min}_k \Delta r_k</math>. Vereinfacht sei <math>|\Delta p_1| = … = |\Delta p_{z}|</math>. Hierbei wäre min <math>r_{\grave{z}}</math> für <math>p^* := p + wq</math> mit <math>w \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> ebenso zu lösen. Folgt <math>\text{min}_k \Delta r_k r = 0</math>, wird aufgehört, andernfalls wiederholt bis min <math>r = 0</math> oder min <math>r &gt; 0</math> feststeht. Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt.<math>\square</math>
+
Für jedes nicht-konstante Polynom <math>p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> gibt es ein <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> mit <math>p(z) = 0</math>.
  
−
== Leseempfehlung ==
+
'''Indirekter Beweis:''' Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich <math>1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0})</math> erreichen. Die Annahme von <math>p(z) \ne 0</math> für alle <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> ergibt für das holomorphe <math>f(z) := 1/p(z)</math> wegen <math>f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0})</math>.
 +
 
 +
Aufgrund der Mittelwertungleichung <math>|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}</math> gilt mit <math>\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)</math> und beliebigem <math>r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{&gt;0}</math> also <math>f(0) = \mathcal{O}(\text{d0})</math> im Widerspruch zur Voraussetzung.<math>\square</math>
 +
 
 +
== Leseempfehlungen ==
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
  
 
[[en:Main Page]]
 
[[en:Main Page]]

Version vom 31. Januar 2022, 20:53 Uhr

Willkommen bei MWiki

Cauchyscher Integralsatz

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ D \subseteq [a, b] }[/math] mit einer einfach zusammenhängenden [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie einer holomorphen Funktion [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] und einem geschlossenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math], wenn wir [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math] wählen, gilt

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0. }[/math]

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square }[/math]

Fundamentalsatz der Algebra

Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] erreichen. Die Annahme von [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] ergibt für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] wegen [math]\displaystyle{ f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math].

Aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math] also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlungen

Nichtstandardmathematik

Abgerufen von „https://de.mwiki.de/index.php?title=Hauptseite&oldid=185“