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(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante) |
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− | + | Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung <math>\widehat{ap}b \pm \hat{s}t</math> mit natürlichen <math>a, b, s</math> und <math>t, abst \ne 0</math> und <math>a + s > 2</math> sowie der (zweit-) größten Primzahl <math>p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b</math> und <math>p \nmid s</math>, so ist sie <math>\omega</math>-transzendent. | |
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+ | Der Nenner von <math>\widehat{aps} (bs \pm apt)</math> ist <math>\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega</math> aufgrund des Primzahlsatzes.<math>\square </math> | ||
− | + | === Transzendenz der Eulerschen Konstante === | |
+ | Mit <math>s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}</math> für <math>x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> sei die Eulersche Konstante <math>\gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx}</math>, wobei Umsummieren <math>\gamma \in \; ]0, 1[</math> zeigt. | ||
+ | Wird <math>{_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega</math> akzeptiert, so gilt <math>\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)</math> genau. | ||
==== Beweis: ==== | ==== Beweis: ==== | ||
− | + | Die exakte Integration macht <math>-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx</math> für <math>x \in [-1, 1 - \hat{\nu}]</math> und <math>t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> aus der geometrischen Reihe. | |
+ | Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von <math>\hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)</math> für <math>p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}</math> angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.<math>\square</math> | ||
== Leseempfehlung == | == Leseempfehlung == | ||
Version vom 30. September 2021, 16:17 Uhr
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Größte-Primzahl-Kriterium
Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung [math]\displaystyle{ \widehat{ap}b \pm \hat{s}t }[/math] mit natürlichen [math]\displaystyle{ a, b, s }[/math] und [math]\displaystyle{ t, abst \ne 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ a + s > 2 }[/math] sowie der (zweit-) größten Primzahl [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b }[/math] und [math]\displaystyle{ p \nmid s }[/math], so ist sie [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-transzendent.
Beweis:
Der Nenner von [math]\displaystyle{ \widehat{aps} (bs \pm apt) }[/math] ist [math]\displaystyle{ \ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega }[/math] aufgrund des Primzahlsatzes.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Transzendenz der Eulerschen Konstante
Mit [math]\displaystyle{ s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}} }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] sei die Eulersche Konstante [math]\displaystyle{ \gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx} }[/math], wobei Umsummieren [math]\displaystyle{ \gamma \in \; ]0, 1[ }[/math] zeigt.
Wird [math]\displaystyle{ {_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega }[/math] akzeptiert, so gilt [math]\displaystyle{ \gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}} }[/math] auf [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega) }[/math] genau.
Beweis:
Die exakte Integration macht [math]\displaystyle{ -{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in [-1, 1 - \hat{\nu}] }[/math] und [math]\displaystyle{ t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] aus der geometrischen Reihe.
Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von [math]\displaystyle{ \hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega) }[/math] für [math]\displaystyle{ p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P} }[/math] angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]