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| − | + | Das Zentrumsverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}(\omega{\vartheta}^2)</math>. | |
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| + | Beweis und Algorithmus: Sei <math>z := \grave{m} + n</math> und <math>d \in [0, 1]</math> die Dichte von <math>A</math>. Zuerst werden <math>{b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> sowie <math>{A}^{T}y \ge c</math> normiert und skaliert. <math>P_r := \{(x, y)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{z} : {b}^{T}y - {c}^{T}x \le r \in [0, \check{r}], Ax - b \le \underline{r}_m, c - {A}^{T}y \le \underline{r}_n\}</math> habe den Radius <math>\check{r} := s|\min \; \{b_1, ..., b_m, -c_1, ..., -c_n\}|</math> und den Skalierungsfaktor <math>s \in [1, 2]</math>. Es folgt <math>\underline{0}_{z} \in \partial P_{\check{r}}</math>. Nach dem starken Dualitätssatz löst das LP min <math>\{ r \in [0, \check{r}] : (x, y)^T \in P_r\}</math> ebenso die LPs max <math>\{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\}</math>. | ||
| − | + | Seine Lösung ist der geometrische Schwerpunkt <math>g</math> des Polytops <math>P_0</math>. Mit <math>p_k^* := (\text{min}\,p_k + \text{max}\,p_k)/2</math> für <math>k = 1, ..., \grave{z}</math> wird <math>g</math> durch <math>p_0 := (x_0, y_0, r_0)^T</math> approximiert, bis <math>||\Delta p||_1</math> hinreichend klein ist. Die Lösung <math>t^o(x^o, y^o, r^o)^T</math> des zweidimensionalen LPs min <math>\{ r \in [0, \check{r}] : t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{> 0}, t(x_0, y_0)^T \in P_r\}</math> approximiert <math>g</math> besser und erreicht <math>r \le \check{r}/\sqrt{\grave{z}}</math>. Dies wird mit <math>t^o(x^o, y^o)^T</math> wiederholt, bis ggf. <math>g \in P_0</math> in <math>\mathcal{O}({}_z\check{r} {}_e\check{r}dmn)</math> berechnet ist. Zahlen der Länge <math>\mathcal{O}({\omega})</math> lassen sich bekanntlich nur in <math>\mathcal{O}(\vartheta)</math> abarbeiten. | |
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| + | Das Lösen aller zweidimensionalen LPs <math>\text{min}_k r_k</math> durch Bisektionsverfahren für <math>r_k \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> und <math>k = 1, ..., z</math> in jeweils <math>\mathcal{O}({\vartheta}^2)</math> ermittelt <math>q \in {}^{\omega}\mathbb{R}^k</math> mit <math>q_k := \Delta p_k \Delta r_k/r</math> und <math>r := \text{min}_k \Delta r_k</math>. Vereinfacht sei <math>|\Delta p_1| = … = |\Delta p_{z}|</math>. Hierbei wäre min <math>r_{\grave{z}}</math> für <math>p^* := p + wq</math> mit <math>w \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> ebenso zu lösen. Folgt <math>\text{min}_k \Delta r_k r = 0</math>, wird aufgehört, andernfalls wiederholt bis min <math>r = 0</math> oder min <math>r > 0</math> feststeht. Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt.<math>\square</math> | ||
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Version vom 1. Januar 2022, 02:49 Uhr
Willkommen bei MWiki
Satz des Monats
Das Zentrumsverfahren löst jedes lösbare LP in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\omega{\vartheta}^2) }[/math].
Beweis und Algorithmus
Beweis und Algorithmus: Sei [math]\displaystyle{ z := \grave{m} + n }[/math] und [math]\displaystyle{ d \in [0, 1] }[/math] die Dichte von [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zuerst werden [math]\displaystyle{ {b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b }[/math] sowie [math]\displaystyle{ {A}^{T}y \ge c }[/math] normiert und skaliert. [math]\displaystyle{ P_r := \{(x, y)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{z} : {b}^{T}y - {c}^{T}x \le r \in [0, \check{r}], Ax - b \le \underline{r}_m, c - {A}^{T}y \le \underline{r}_n\} }[/math] habe den Radius [math]\displaystyle{ \check{r} := s|\min \; \{b_1, ..., b_m, -c_1, ..., -c_n\}| }[/math] und den Skalierungsfaktor [math]\displaystyle{ s \in [1, 2] }[/math]. Es folgt [math]\displaystyle{ \underline{0}_{z} \in \partial P_{\check{r}} }[/math]. Nach dem starken Dualitätssatz löst das LP min [math]\displaystyle{ \{ r \in [0, \check{r}] : (x, y)^T \in P_r\} }[/math] ebenso die LPs max [math]\displaystyle{ \{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\} }[/math] und min [math]\displaystyle{ \{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\} }[/math].
Seine Lösung ist der geometrische Schwerpunkt [math]\displaystyle{ g }[/math] des Polytops [math]\displaystyle{ P_0 }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ p_k^* := (\text{min}\,p_k + \text{max}\,p_k)/2 }[/math] für [math]\displaystyle{ k = 1, ..., \grave{z} }[/math] wird [math]\displaystyle{ g }[/math] durch [math]\displaystyle{ p_0 := (x_0, y_0, r_0)^T }[/math] approximiert, bis [math]\displaystyle{ ||\Delta p||_1 }[/math] hinreichend klein ist. Die Lösung [math]\displaystyle{ t^o(x^o, y^o, r^o)^T }[/math] des zweidimensionalen LPs min [math]\displaystyle{ \{ r \in [0, \check{r}] : t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{> 0}, t(x_0, y_0)^T \in P_r\} }[/math] approximiert [math]\displaystyle{ g }[/math] besser und erreicht [math]\displaystyle{ r \le \check{r}/\sqrt{\grave{z}} }[/math]. Dies wird mit [math]\displaystyle{ t^o(x^o, y^o)^T }[/math] wiederholt, bis ggf. [math]\displaystyle{ g \in P_0 }[/math] in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({}_z\check{r} {}_e\check{r}dmn) }[/math] berechnet ist. Zahlen der Länge [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\omega}) }[/math] lassen sich bekanntlich nur in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\vartheta) }[/math] abarbeiten.
Das Lösen aller zweidimensionalen LPs [math]\displaystyle{ \text{min}_k r_k }[/math] durch Bisektionsverfahren für [math]\displaystyle{ r_k \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0} }[/math] und [math]\displaystyle{ k = 1, ..., z }[/math] in jeweils [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\vartheta}^2) }[/math] ermittelt [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega}\mathbb{R}^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ q_k := \Delta p_k \Delta r_k/r }[/math] und [math]\displaystyle{ r := \text{min}_k \Delta r_k }[/math]. Vereinfacht sei [math]\displaystyle{ |\Delta p_1| = … = |\Delta p_{z}| }[/math]. Hierbei wäre min [math]\displaystyle{ r_{\grave{z}} }[/math] für [math]\displaystyle{ p^* := p + wq }[/math] mit [math]\displaystyle{ w \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0} }[/math] ebenso zu lösen. Folgt [math]\displaystyle{ \text{min}_k \Delta r_k r = 0 }[/math], wird aufgehört, andernfalls wiederholt bis min [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] oder min [math]\displaystyle{ r > 0 }[/math] feststeht. Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]