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Sätze des Monats
Leibnizsche Differentiationsregel
Für [math]\displaystyle{ f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\} }[/math] gilt bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x) }[/math] und [math]\displaystyle{ \curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x) }[/math]
Beweis:
Satz von Beal
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis:
Mit [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega} \mathbb{P} }[/math] und [math]\displaystyle{ r, s \in {}^{\omega}\mathbb{Q} }[/math] sind sämtliche nichttrivialen Darstellungen von [math]\displaystyle{ c^k \gt 1 }[/math] als [math]\displaystyle{ (a^{m-r} + ib^{n-s})(a^r - ib^s) =c^k +i(a^rb^{n-s} - a^{m-r}b^s) }[/math], wobei alle Beziehungen [math]\displaystyle{ a^{m-\hat{r}} = b^{n-\hat{s}} }[/math] dann [math]\displaystyle{ p \mid }[/math] ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) }[/math] sowie die Behauptung trotz gewisser (nicht-)rationaler [math]\displaystyle{ r }[/math] und [math]\displaystyle{ s }[/math] (Stetigkeit!) ergeben.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung:
Der vorige Satz ermöglicht einen unendlichen Abstieg wegen ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1 }[/math], sodass [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt wird.[math]\displaystyle{ \square }[/math]