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Sätze des Monats

Universelles Mehrschrittverfahren

Mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, {\downarrow}_{{}^\curvearrowright} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k({}^\curvearrowright x) := g_{\acute{k}}(x) }[/math] und [math]\displaystyle{ g_0(a) = f(({}^\curvearrowleft)a, y_0, ... , y_{\acute{n}}) }[/math] ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems [math]\displaystyle{ n }[/math]-ter Ordnung [math]\displaystyle{ y^\prime(x) = f(x, y(({}^\curvearrowright)^0 x), ... , y(({}^\curvearrowright)^{\acute{n}} x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ y({}^\curvearrowright x) = y(x) + {\downarrow}_{{}^\curvearrowright}x{\pm}_{k=1}^{p}{\left (g_{p-k}(({}^\curvearrowright) x){+}_{m=k}^{p}{\widetilde{m!}\tbinom{\acute{m}}{\acute{k}}}\right )} + \mathcal{O}(({\downarrow}_{{}^\curvearrowright} x)^{\grave{p}}).\square }[/math]

Satz von Goldbach

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Beweis:

Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Fundierungssatz

Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge [math]\displaystyle{ X \subseteq Y }[/math] ein Element [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] enthält, sodass [math]\displaystyle{ X }[/math] und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.

Beweis:

Es wird [math]\displaystyle{ X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_{\acute{n}} := \{x_n\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\} }[/math] gesetzt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik