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Sätze des Monats
Satz von Gelfond-Schneider
Mit [math]\displaystyle{ a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q }[/math] gilt [math]\displaystyle{ a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}: }[/math]
Beweis:
Setzt [math]\displaystyle{ b \in Q }[/math] das Minimalpolynom [math]\displaystyle{ p(a^b) = p(c^q) }[/math] auf 0, so liefert die Annahme [math]\displaystyle{ a^b = c^{q+\varepsilon} }[/math] mit maximalem [math]\displaystyle{ q \in Q_{>0} }[/math] den Widerspruch [math]\displaystyle{ 0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square }[/math]
Drei-Kuben-Satz
Drei-Kuben-Satz: Es gilt [math]\displaystyle{ S := \{n \in \mathbb{Z} : n \ne \pm 4\mod 9\} = \{n \in \mathbb{Z} : n = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)c(a - b + c) = (a + c)^3 + (b - c)^3 + c^3\} \subset a^3 + b^3 + c^3 + 6{\mathbb{Z}} }[/math], da unabhängige vollständige Induktion nach den gleichberechtigten Variablen [math]\displaystyle{ a, b, c \in {\mathbb{Z}} }[/math] zunächst [math]\displaystyle{ \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\} \subset S }[/math] zeigt und dann die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Satz von Fickett
Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, \grave{m} := \hat{n} }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ A }[/math] ist:
Beweis:
Das zugrundeliegende Extremalproblem hat sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + \hat{\iota} }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ q := 3 - \hat{\iota}\tilde{s} }[/math] gilt min [math]\displaystyle{ r = \tilde{q} \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = q }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] verläuft analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]