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Sätze des Monats

Cauchyscher Integralsatz

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {D}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ A \subseteq [a, b] }[/math] mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{O}(D) }[/math] und GW [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial D }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math], gilt

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}=0. }[/math]

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {D}^{-} := \{z \in D : z + h + \underline{h} \in D\} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}={\uparrow}_{\gamma }{\left( u+\underline{v} \right)\left( {\downarrow}x+{\downarrow}\underline{y} \right)}={\uparrow}_{z\in {{D}^{-}}}{\left( \left( \tfrac{{\downarrow} \underline{u}}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} \underline{v}}{{\downarrow} y} \right)-\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}+\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right) \right){\downarrow}(x,y)}=0.\square }[/math]

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] hat ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Eine affin-lineare Variablensubstitution erreicht [math]\displaystyle{ \widetilde{p(0)} \ne \mathcal{O}(\iota) }[/math]. Die Annahme von [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] ergibt für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := \widetilde{p(z)} }[/math] wegen [math]\displaystyle{ f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota) }[/math].

Aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math] also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\iota) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Newtonverfahren

Wird oben [math]\displaystyle{ f(\curvearrowright z)=f(z)+f^\prime(z){\downarrow}z=0 }[/math] gefordert, so gilt [math]\displaystyle{ z_{\grave{n}} := z_n-{f^\prime(z_n)}^{-1}f(z_n) }[/math], falls [math]\displaystyle{ {f^\prime(z_n)}^{-1} }[/math] invertierbar ist, mit quadratischer Konvergenz in der Nähe einer Nullstelle.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

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Nichtstandardmathematik