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Sätze des Monats
Leibnizsche Differentiationsregel
Für [math]\displaystyle{ f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\} }[/math] gilt bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright a(x) = a(\curvearrowright x) }[/math] und [math]\displaystyle{ \curvearrowright b(x) = b(\curvearrowright x) }[/math]
Beweis:
Satz von Beal
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis:
Aus [math]\displaystyle{ b^n = (c^{k-r} – a^m)(c^r + 1) = c^k – a^m + c^{k-r} – a^mc^r }[/math] folgen [math]\displaystyle{ a^m =c^{k-\hat{r}} }[/math] und [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega}\mathbb{Q}_{\gt 0} }[/math] gemäß dem Satz von Gelfond-Schneider, was mit ggT[math]\displaystyle{ (a,c)\gt 1 }[/math] nach Potenzieren die Behauptung ergibt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung:
Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT[math]\displaystyle{ (a,b,c)\gt 1 }[/math] ergibt, dass [math]\displaystyle{ a^n+b^n=c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a,b,c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt wird.[math]\displaystyle{ \square }[/math]