Leibnizregel für Parameterintegrale: Unterschied zwischen den Versionen
(Leibnizregel für Parameterintegrale) |
(Leibnizregel für Parameterintegrale) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
=== Leibnizregel für Parameterintegrale === | === Leibnizregel für Parameterintegrale === | ||
| − | Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, {} | + | Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \overset{\rightharpoonup}{x} := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}</math> und <math>s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}</math> gilt bei Wahl von <math>\overset{\rightharpoonup}{a}(x) = a(\overset{\rightharpoonup}{x})</math> und <math>\overset{\rightharpoonup}{e}(x) = e(\overset{\rightharpoonup}{x})</math>, |
| − | <div style="text-align:center;"><math>\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{ | + | <div style="text-align:center;"><math>\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} e(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},e(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},a(x)).</math></div> |
| − | === Beweis === | + | === Beweis: === |
| − | <div style="text-align:center | + | <div style="text-align:center;"><math>\begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) & ={\left( {\uparrow}_{a(\overset{\rightharpoonup}{x})}^{e(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ & ={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{(f(\overset{\rightharpoonup}{x},t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{e(x)}^{e(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ & ={\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} e(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},e(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},a(x)).\square\end{aligned}</math></div> |
=== Anmerkung === | === Anmerkung === | ||
| − | Die Integration im Komplexen erlaubt einen [[w:Weg (Mathematik)|<span class="wikipedia">Weg</span>]] mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist <math>{} | + | Die Integration im Komplexen erlaubt einen [[w:Weg (Mathematik)|<span class="wikipedia">Weg</span>]] mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist <math>\overset{\rightharpoonup}{a}(x) \ne a(\overset{\rightharpoonup}{x})</math>, so wird der letzte Summand mit <math>(\overset{\rightharpoonup}{a}(x) - a(x))/(a(\overset{\rightharpoonup}{x}) - a(x))</math> multipliziert, und ist <math>\overset{\rightharpoonup}{e}(x) \ne e(\overset{\rightharpoonup}{x})</math>, so wird der vorletzte Summand mit <math>(\overset{\rightharpoonup}{e}(x) - e(x))/(e(\overset{\rightharpoonup}{x}) - e(x))</math> multipliziert. |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Aktuelle Version vom 1. Mai 2024, 18:19 Uhr
Leibnizregel für Parameterintegrale
Für [math]\displaystyle{ f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \overset{\rightharpoonup}{x} := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\} }[/math] gilt bei Wahl von [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{a}(x) = a(\overset{\rightharpoonup}{x}) }[/math] und [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{e}(x) = e(\overset{\rightharpoonup}{x}) }[/math],
[math]\displaystyle{ \tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} e(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},e(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},a(x)). }[/math]
Beweis:
[math]\displaystyle{ \begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) & ={\left( {\uparrow}_{a(\overset{\rightharpoonup}{x})}^{e(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ & ={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{(f(\overset{\rightharpoonup}{x},t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{e(x)}^{e(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a(\overset{\rightharpoonup}{x})}{f(\overset{\rightharpoonup}{x},t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ & ={\uparrow}_{a(x)}^{e(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} e(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},e(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\overset{\rightharpoonup}{x},a(x)).\square\end{aligned} }[/math]
Anmerkung
Die Integration im Komplexen erlaubt einen Weg mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{a}(x) \ne a(\overset{\rightharpoonup}{x}) }[/math], so wird der letzte Summand mit [math]\displaystyle{ (\overset{\rightharpoonup}{a}(x) - a(x))/(a(\overset{\rightharpoonup}{x}) - a(x)) }[/math] multipliziert, und ist [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{e}(x) \ne e(\overset{\rightharpoonup}{x}) }[/math], so wird der vorletzte Summand mit [math]\displaystyle{ (\overset{\rightharpoonup}{e}(x) - e(x))/(e(\overset{\rightharpoonup}{x}) - e(x)) }[/math] multipliziert.