Leibnizregel für Parameterintegrale: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n | + | === Leibnizregel für Parameterintegrale === |
| + | Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, {}^\curvearrowright x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}</math> und <math>s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}</math> gilt bei Wahl von <math>{}^\curvearrowright a(x) = a({}^\curvearrowright x)</math> und <math>{}^\curvearrowright b(x) = b({}^\curvearrowright x)</math>, | ||
| − | <div style="text-align:center;"><math>\ | + | <div style="text-align:center;"><math>\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)).</math></div> |
=== Beweis === | === Beweis === | ||
| − | <div style="text-align:center; font-size: 84%;"><math>\begin{aligned}\ | + | <div style="text-align:center; font-size: 84%;"><math>\begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) &={\left( {\uparrow}_{a({}^\curvearrowright x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{(f({}^\curvearrowright x,t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{b(x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)).\square\end{aligned}</math></div> |
=== Anmerkung === | === Anmerkung === | ||
| − | + | Die Integration im Komplexen erlaubt einen [[w:Weg (Mathematik)|<span class="wikipedia">Weg</span>]] mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist <math>{}^\curvearrowright a(x) \ne a({}^\curvearrowright x)</math>, so wird der letzte Summand mit <math>({}^\curvearrowright a(x) - a(x))/(a({}^\curvearrowright x) - a(x))</math> multipliziert, und ist <math>{}^\curvearrowright b(x) \ne b({}^\curvearrowright x)</math>, so wird der vorletzte Summand mit <math>({}^\curvearrowright b(x) - b(x))/(b({}^\curvearrowright x) - b(x))</math> multipliziert. | |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 29. September 2023, 15:50 Uhr
Leibnizregel für Parameterintegrale
Für [math]\displaystyle{ f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, {}^\curvearrowright x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\} }[/math] gilt bei Wahl von [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright a(x) = a({}^\curvearrowright x) }[/math] und [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright b(x) = b({}^\curvearrowright x) }[/math],
[math]\displaystyle{ \tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)). }[/math]
Beweis
[math]\displaystyle{ \begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) &={\left( {\uparrow}_{a({}^\curvearrowright x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{(f({}^\curvearrowright x,t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{b(x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)).\square\end{aligned} }[/math]
Anmerkung
Die Integration im Komplexen erlaubt einen Weg mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright a(x) \ne a({}^\curvearrowright x) }[/math], so wird der letzte Summand mit [math]\displaystyle{ ({}^\curvearrowright a(x) - a(x))/(a({}^\curvearrowright x) - a(x)) }[/math] multipliziert, und ist [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright b(x) \ne b({}^\curvearrowright x) }[/math], so wird der vorletzte Summand mit [math]\displaystyle{ ({}^\curvearrowright b(x) - b(x))/(b({}^\curvearrowright x) - b(x)) }[/math] multipliziert.