Multinomialtheorem

Satz (binomische Reihe)

Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 durch Ableitung

[math]\displaystyle{ {\grave{z}}^\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square }[/math]

Multinomialsatz

Für [math]\displaystyle{ z, \breve{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2) }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ \left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m=\sum\limits_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}. }[/math]

Beweis:

Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{k} }[/math] durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math]:

[math]\displaystyle{ ({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m=\sum_{{(n_0,n)\underline{1}}_{\grave{k}}=m}{\binom{m}{n_0,n}z^n} }[/math] wegen [math]\displaystyle{ \binom{m}{n_1,...,n_{k-2},p} \binom{p}{n_{\grave{k}},n_k} = \binom{m}{n_1,...,n_k}. }[/math]

Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \grave{n} := n+(1,0, ... ,0) }[/math] durch gliedweise Integration:

[math]\displaystyle{ {\grave{m}\int_{0}^{\breve{z}_1}{\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^mdz_1}=\left({\underline{1}}_k^T\breve{z}\right)^{\grave{m}}-\left.\left({\underline{1}}_k^T\breve{z}\right)^{\grave{m}}\right|_{{\breve{z}}_1=0}=\sum_{{\grave{n}}{\underline{1}}_k=\grave{m}}\binom{\grave{m}}{\grave{n}}{\breve{z}}^{\grave{n}}}.\square }[/math]

Allgemeine Leibnizsche Produktregel

Mit [math]\displaystyle{ \partial^n := \partial_1^{n_1}...\partial_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial_j^{n_j} := \partial^{n_j}/\partial{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^* }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz

[math]\displaystyle{ \partial^mf = \sum\limits_{n\underline{1}_k=||m||_1}{\binom{||m||_1}{n}\partial^nf}.\square }[/math]

Siehe auch

• Liste mathematischer Symbole
• Multinomialtheorem