Multinomialtheorem: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\grave{k}</math> durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math>: | Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\grave{k}</math> durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math>: | ||
− | <div style="text-align:center;"><math>({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m=\sum_{{ | + | <div style="text-align:center;"><math>({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m=\sum_{{n_0,n\underline{1}}_{\grave{k}}=m}{\binom{m}{(n_0,n)}z^n}</math> wegen <math>\binom{m}{n_1,...,n_{k-2},p} \binom{p}{n_{\grave{k}},n_k} = \binom{m}{n_1,...,n_k}.</math></div> |
Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: | Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: |
Version vom 8. Februar 2022, 02:32 Uhr
Satz (binomische Reihe)
Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widehat{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 durch Ableitung
Multinomialsatz
Für [math]\displaystyle{ z, \check{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{m}{n} := \widehat{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2) }[/math] gilt
Beweis:
Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{k} }[/math] durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math]:
Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \grave{n} := n+(1,0, ... ,0) }[/math] durch gliedweise Integration: