Multinomialtheorem: Unterschied zwischen den Versionen
K |
K |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
=== Satz (binomische Reihe) === | === Satz (binomische Reihe) === | ||
− | Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\ | + | Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n)</math> und <math>\left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1</math> für alle <math>m \ge \nu</math> und <math>\binom{\alpha}{0}:=1</math> ergibt sich mit <math>z \in \mathbb{D}^\ll</math> bzw. <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> für <math>\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> die [[w:Taylorreihe|<span class="wikipedia">Taylorreihe</span>]] um 0 durch [[w:Differentialrechnung|<span class="wikipedia">Ableitung</span>]] |
<div style="text-align:center;"><math>{\grave{z}}^\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square</math></div> | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{z}}^\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square</math></div> | ||
=== Multinomialsatz === | === Multinomialsatz === | ||
− | Für <math>z, \check{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k}</math> und <math>\binom{m}{n} := \ | + | Für <math>z, \check{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k}</math> und <math>\binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2)</math> gilt |
<div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m=\sum\limits_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div> | <div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m=\sum\limits_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div> |
Version vom 15. Juni 2022, 13:51 Uhr
Satz (binomische Reihe)
Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 durch Ableitung
Multinomialsatz
Für [math]\displaystyle{ z, \check{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2) }[/math] gilt
Beweis:
Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{k} }[/math] durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math]:
Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \grave{n} := n+(1,0, ... ,0) }[/math] durch gliedweise Integration:
Allgemeine Leibnizsche Produktregel
Mit [math]\displaystyle{ \partial^n := \partial_1^{n_1}...\partial_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial_j^{n_j} := \partial^{n_j}/\partial{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^* }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz