Multinomialtheorem: Unterschied zwischen den Versionen
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K (Multinomialtheorem) |
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=== Multinomialsatz === | === Multinomialsatz === | ||
− | Für <math>z, \ | + | Für <math>z, \breve{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k}</math> und <math>\binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2)</math> gilt |
<div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m=\sum\limits_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div> | <div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m=\sum\limits_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div> | ||
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Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: | Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: | ||
− | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{m}\int_{0}^{\ | + | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{m}\int_{0}^{\breve{z}_1}{\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^mdz_1}=\left({\underline{1}}_k^T\breve{z}\right)^{\grave{m}}-\left.\left({\underline{1}}_k^T\breve{z}\right)^{\grave{m}}\right|_{{\breve{z}}_1=0}=\sum_{{\grave{n}}{\underline{1}}_k=\grave{m}}\binom{\grave{m}}{\grave{n}}{\breve{z}}^{\grave{n}}}.\square</math></div> |
=== Allgemeine Leibnizsche Produktregel === | === Allgemeine Leibnizsche Produktregel === |
Version vom 15. Juni 2022, 13:52 Uhr
Satz (binomische Reihe)
Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 durch Ableitung
Multinomialsatz
Für [math]\displaystyle{ z, \breve{z} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2) }[/math] gilt
Beweis:
Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{k} }[/math] durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math]:
Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \grave{n} := n+(1,0, ... ,0) }[/math] durch gliedweise Integration:
Allgemeine Leibnizsche Produktregel
Mit [math]\displaystyle{ \partial^n := \partial_1^{n_1}...\partial_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial_j^{n_j} := \partial^{n_j}/\partial{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^* }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz