Multinomialtheorem: Unterschied zwischen den Versionen
K (Multinomialtheorem) |
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Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n)</math> und <math>\left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1</math> für alle <math>m \ge \nu</math> und <math>\binom{\alpha}{0}:=1</math> ergibt sich mit <math>z \in \mathbb{D}^\ll</math> bzw. <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> für <math>\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> die [[w:Taylorreihe|<span class="wikipedia">Taylorreihe</span>]] um 0 durch [[w:Differentialrechnung|<span class="wikipedia">Ableitung</span>]] | Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n)</math> und <math>\left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1</math> für alle <math>m \ge \nu</math> und <math>\binom{\alpha}{0}:=1</math> ergibt sich mit <math>z \in \mathbb{D}^\ll</math> bzw. <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> für <math>\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> die [[w:Taylorreihe|<span class="wikipedia">Taylorreihe</span>]] um 0 durch [[w:Differentialrechnung|<span class="wikipedia">Ableitung</span>]] | ||
− | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{z}}^\alpha= | + | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{z}}^\alpha={+}_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square</math></div> |
=== Multinomialsatz === | === Multinomialsatz === | ||
− | Für <math>z, \ | + | Für <math>z, \zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k}</math> und <math>\binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2)</math> gilt |
− | <div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m= | + | <div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m={+}_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div> |
==== Beweis: ==== | ==== Beweis: ==== | ||
Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\grave{k}</math> durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math>: | Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\grave{k}</math> durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math>: | ||
− | <div style="text-align:center;"><math>({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m= | + | <div style="text-align:center;"><math>({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m={+}_{{(n_0,n)\underline{1}}_{\grave{k}}=m}{\binom{m}{n_0,n}z^n}</math> wegen <math>\binom{m}{n_1,...,n_{k-2},p} \binom{p}{n_{\grave{k}},n_k} = \binom{m}{n_1,...,n_k}.</math></div> |
Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: | Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]: | ||
− | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{m}\ | + | <div style="text-align:center;"><math>{\grave{m}{\uparrow}_{0}^{\zeta_1}{\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m{\downarrow}z_1}=\left.\left({\underline{1}}_k^T\zeta\right)^{\grave{m}}\right|_0^{{\zeta}_1}={+}_{{\grave{n}}{\underline{1}}_k=\grave{m}}\binom{\grave{m}}{\grave{n}}z^{\grave{n}}}.\square</math></div> |
=== Allgemeine Leibnizsche Produktregel === | === Allgemeine Leibnizsche Produktregel === | ||
− | Mit <math>\ | + | Mit <math>{\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k}</math> und <math>{\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j}</math> folgt für <math>m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^*</math> und differenzierbares <math>f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> aus dem Multinomialsatz |
− | <div style="text-align:center;"><math>\ | + | <div style="text-align:center;"><math>{\downarrow}^mf = {+}_{n\underline{1}_k=||m||_1}{\binom{||m||_1}{n}{\downarrow}^nf}.\square</math></div> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == |
Version vom 25. Juli 2022, 16:25 Uhr
Satz (binomische Reihe)
Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 durch Ableitung
Multinomialsatz
Für [math]\displaystyle{ z, \zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2) }[/math] gilt
Beweis:
Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{k} }[/math] durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math]:
Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \grave{m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \grave{n} := n+(1,0, ... ,0) }[/math] durch gliedweise Integration:
Allgemeine Leibnizsche Produktregel
Mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^* }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz