Strassen-Algorithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Strassen-Algorithmus)
(Strassen-Algorithmus)
Zeile 28: Zeile 28:
 
   A_{12}^TA_{11}+A_{22}^TA_{21} & A_{12}^TA_{12}+A_{22}^TA_{22}
 
   A_{12}^TA_{11}+A_{22}^TA_{21} & A_{12}^TA_{12}+A_{22}^TA_{22}
 
\end{pmatrix}</math> und <math>T_q(2n) = 4T_s(n) + 2n^{(_2 7)}</math> bzw. <math>T_q(n) = 4T_s(n/2) + 2/7n^{(_2 7)} = 2/3n^{(_2 3)} + 4/7n^{(_2 7)}.\square</math>
 
\end{pmatrix}</math> und <math>T_q(2n) = 4T_s(n) + 2n^{(_2 7)}</math> bzw. <math>T_q(n) = 4T_s(n/2) + 2/7n^{(_2 7)} = 2/3n^{(_2 3)} + 4/7n^{(_2 7)}.\square</math>
 
'''Satz (Zerlegungsverfahren):'''
 
 
Für <math>A, B, D, E \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> mit <math>2^k := n, k \in \mathbb{N}^*</math> beträgt die Laufzeit <math>T_z(n) = \mathcal{O}(n^{(2^6)})</math> für das Matrixprodukt <math>QR</math>, wenn <math>A</math> ebenfalls die nachfolgende Form von <math>B</math> hat:
 
 
'''Beweis:''' Mit <math>B :=
 
  \begin{pmatrix}
 
  B_{11} & B_{12} \\
 
  B_{12} & B_{22}
 
  \end{pmatrix}</math> gilt <math>AB =
 
  \begin{pmatrix}
 
  A_{11}B_{11}+A_{12}B_{12} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\
 
  A_{12}B_{11}+A_{22}B_{12} & A_{12}B_{12}+A_{22}B_{22}
 
\end{pmatrix} =: C</math>. Wird
 
 
: <math>M_{1} := A_{12} \cdot (B_{11} + B_{12})</math>
 
: <math>M_{2} := A_{12} \cdot (B_{12} + B_{22})</math>
 
: <math>M_{3} := A_{22} \cdot (B_{12} + B_{22})</math>
 
: <math>M_{4} := (A_{11} - A_{12})\cdot B_{11}</math>
 
: <math>M_{5} := (A_{11} - A_{12})\cdot B_{12}</math>
 
: <math>M_{6} := (A_{12} - A_{22})\cdot B_{22}</math>
 
 
gesetzt, so gilt
 
 
: <math>C_{11} = M_{1} + M_{4}</math>
 
: <math>C_{12} = M_{2} + M_{5}</math>
 
: <math>C_{21} = M_{1} - C_{22} + M_{3}</math>
 
: <math>C_{22} = M_{2} - M_{6}            .</math>
 
 
Habe <math>D</math> die folgende Form von <math>E</math>:
 
 
Mit <math>E :=
 
  \begin{pmatrix}
 
  E_{11} & E_{12} \\
 
  E_{21} & E_{11}
 
  \end{pmatrix}</math> gilt <math>DE =
 
  \begin{pmatrix}
 
  D_{11}E_{11}+D_{12}E_{21} & D_{11}E_{12}+D_{12}E_{11} \\
 
  D_{21}E_{11}+D_{11}E_{21} & D_{21}E_{12}+D_{11}E_{11}
 
\end{pmatrix} =: F</math>. Wird
 
 
: <math>N_{1} := D_{11} \cdot (E_{11} + E_{12})</math>
 
: <math>N_{2} := D_{21} \cdot (E_{11} + E_{12})</math>
 
: <math>N_{3} := D_{12} \cdot (E_{11} - E_{21})</math>
 
: <math>N_{4} := (D_{11} - D_{12})\cdot E_{11}</math>
 
: <math>N_{5} := (D_{11} - D_{21})\cdot E_{11}</math>
 
: <math>N_{6} := (D_{11} + D_{12})\cdot E_{21}</math>
 
 
gesetzt, so gilt
 
 
: <math>F_{11} = N_{3} + N_{4}</math>
 
: <math>F_{12} = N_{1} - N_{4}</math>
 
: <math>F_{21} = F_{11} - N_{5} + N_{6}</math>
 
: <math>F_{22} = N_{2} + N_{5}            .</math>
 
 
Dann gilt für <math>D</math> und <math>B</math>:
 
 
<math>DB =
 
  \begin{pmatrix}
 
  D_{11}B_{11}+D_{12}B_{12} & D_{11}B_{12}+D_{12}B_{22} \\
 
  D_{21}B_{11}+D_{11}B_{12} & D_{21}B_{12}+D_{11}B_{22}
 
\end{pmatrix} =: G</math>. Wird
 
 
: <math>O_{1} := D_{12} \cdot (B_{12} + B_{22})</math>
 
: <math>O_{2} := D_{11} \cdot (B_{12} + B_{22})</math>
 
: <math>O_{3} := D_{21} \cdot (B_{11} + B_{12})</math>
 
: <math>O_{4} := (D_{11} - D_{12})\cdot B_{22}</math>
 
: <math>O_{5} := (D_{11} - D_{21})\cdot B_{12}</math>
 
: <math>O_{6} := (D_{11} - D_{21})\cdot B_{11}</math>
 
 
gesetzt, so gilt
 
 
: <math>G_{11} = O_{1} - G_{12} + G_{21} + O_{6}</math>
 
: <math>G_{12} = O_{2} - O_{4}</math>
 
: <math>G_{21} = O_{3} + O_{5}</math>
 
: <math>G_{22} = O_{2} - O_{5}            .</math>
 
 
Dann gilt für <math>A</math> und <math>E</math>:
 
 
<math>AE =
 
  \begin{pmatrix}
 
  A_{11}E_{11}+A_{12}E_{21} & A_{11}E_{12}+A_{12}E_{11} \\
 
  A_{12}E_{11}+A_{22}E_{21} & A_{12}E_{12}+A_{22}E_{11}
 
\end{pmatrix} =: H</math>. Wird
 
 
: <math>P_{1} := A_{12} \cdot (E_{11} - E_{21})</math>
 
: <math>P_{2} := A_{11} \cdot (E_{11} - E_{12})</math>
 
: <math>P_{3} := A_{22} \cdot (E_{11} - E_{21})</math>
 
: <math>P_{4} := (A_{11} + A_{12})\cdot E_{11}</math>
 
: <math>P_{5} := (A_{11} + A_{12})\cdot E_{12}</math>
 
: <math>P_{6} := (A_{12} + A_{22})\cdot E_{21}</math>
 
 
gesetzt, so gilt
 
 
: <math>H_{11} = P_{4} - P_{1}</math>
 
: <math>H_{12} = P_{4} - P_{2}</math>
 
: <math>H_{21} = P_{1} + P_{6}</math>
 
: <math>H_{22} = H_{21} - H_{12} + P_{3} + P_{5}            .</math>
 
 
Da sich <math>QR</math> wie folgt zerlegen lässt, ergibt sich die Behauptung:
 
 
: <math>QR=\left(\left(\begin{matrix}Q_{11}&Q_{12}\\Q_{21}&Q_{11}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0&0\\0&{Q_{11}-Q}_{22}\\\end{matrix}\right)\right)\left(\left(\begin{matrix}R_{22}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}{R_{22}-R}_{11}&0\\0&0\\\end{matrix}\right)\right).\square</math>
 
 
== Siehe auch ==
 
[[Liste mathematischer Symbole]]
 
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]
 
 
[[en:Strassen algorithm]]
 
  
 
== Siehe auch ==
 
== Siehe auch ==

Version vom 23. März 2022, 20:25 Uhr

Strassen-Algorithmus für eine symmetrische Matrix:

Für eine symmetrische Matrix [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 2^k := n, k \in \mathbb{N}^* }[/math] beträgt die Laufzeit [math]\displaystyle{ T_s(n) }[/math] des Strassen-Algorithmus für das Matrixprodukt [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] circa die Hälfte von der des Originalalgorithmus in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^{(_2 7)}) }[/math].

Beweis: Mit [math]\displaystyle{ A := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^T & A_{22} \end{pmatrix} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ A^TA = \begin{pmatrix} A_{11}A_{11}+A_{12}A_{12}^T & A_{11}A_{12}+A_{12}A_{22} \\ A_{12}^TA_{11}+A_{22}A_{12}^T & A_{12}^TA_{12}+A_{22}A_{22} \end{pmatrix} }[/math] und [math]\displaystyle{ T_s(2n) = 3T_s(n) + 2n^{(_2 7)} }[/math]. Also [math]\displaystyle{ T_s(n) = 3T_s(n/2) + 2(n/2)^{(_2 7)} }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ T_s(n/2) = 3T_s(n/4) + 2(n/4)^{(_2 7)} }[/math].

Die geometrische Reihe liefert wegen [math]\displaystyle{ T_s(1) = 1 }[/math]: [math]\displaystyle{ T_s(n) = 27T_s(n/8) + 2/7n^{(_2 7)}(1+3/7 + (3/7)^2 + ...) = 3^{(_2n)} + 2/7n^{(_2 7)} (1-(3/7)^{(_2n)})/(1-3/7) }[/math] [math]\displaystyle{ = n^{(_2 3)} + \hat{2}(n^{(_2 7)}-n^{(_2 3)}) = \hat{2} (n^{(_2 3)} + n^{(_2 7)}).\square }[/math]

Strassen-Algorithmus für eine quadratrische Matrix:

Für eine quadratrische Matrix [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 2^k := n, k \in \mathbb{N}^* }[/math] beträgt die Laufzeit [math]\displaystyle{ T_q(n) }[/math] des Strassen-Algorithmus für das Matrixprodukt [math]\displaystyle{ A^TA }[/math] circa [math]\displaystyle{ 4/7 }[/math] von der des Originalalgorithmus in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^{(_2 7)}) }[/math].

Beweis: Mit [math]\displaystyle{ A := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ A^TA = \begin{pmatrix} A_{11}^TA_{11}+A_{21}^TA_{21} & A_{11}^TA_{12}+A_{21}^TA_{22} \\ A_{12}^TA_{11}+A_{22}^TA_{21} & A_{12}^TA_{12}+A_{22}^TA_{22} \end{pmatrix} }[/math] und [math]\displaystyle{ T_q(2n) = 4T_s(n) + 2n^{(_2 7)} }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ T_q(n) = 4T_s(n/2) + 2/7n^{(_2 7)} = 2/3n^{(_2 3)} + 4/7n^{(_2 7)}.\square }[/math]

Siehe auch

Liste mathematischer Symbole