Strassen-Algorithmus: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die [[w: | + | Die [[w:geometrische Reihe|<span class="wikipedia">geometrische Reihe</span>]] liefert die Behauptung wegen der obigen Halbierungen (s. oben rechts).\square</math> |
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Aktuelle Version vom 29. September 2023, 15:33 Uhr
Strassen-Algorithmus für eine quadratrische Matrix:
Für eine quadratrische Matrix [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math] mit hinreichend großem [math]\displaystyle{ 2^k := n, k \in \mathbb{N}^* }[/math] beträgt die Laufzeit [math]\displaystyle{ T_q(n) }[/math] des Strassen-Algorithmus für das Matrixprodukt [math]\displaystyle{ AA^T }[/math] circa die Hälfte von der des Originalalgorithmus in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^{(_2 7)}) }[/math].
Beweis: Mit [math]\displaystyle{ A := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ AA^T = \begin{pmatrix} A_{11}A_{11}^T+A_{12}A_{12}^T & A_{11}A_{21}^T+A_{12}A_{22}^T \\ A_{21}A_{11}^T+A_{22}A_{12}^T & A_{21}A_{21}^T+A_{22}A_{22}^T \end{pmatrix} }[/math].
Die geometrische Reihe liefert die Behauptung wegen der obigen Halbierungen (s. oben rechts).\square</math>