Strassen-Algorithmus

Strassen-Algorithmus für eine quadratrische Matrix:

Für eine quadratrische Matrix [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 2^k := n, k \in \mathbb{N}^* }[/math] beträgt die Laufzeit [math]\displaystyle{ T_q(n) }[/math] des Strassen-Algorithmus für das Matrixprodukt [math]\displaystyle{ AA^T }[/math] circa [math]\displaystyle{ 2/3 }[/math] von der des Originalalgorithmus in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^{(_2 7)}) }[/math].

Beweis: Mit [math]\displaystyle{ A := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ A^TA = \begin{pmatrix} A_{11}A_{11}^T+A_{12}A_{12}^T & A_{11}A_{21}^T+A_{12}A_{22}^T \\ A_{21}A_{11}^T+A_{22}A_{12}^T & A_{21}A_{21}^T+A_{22}A_{22}^T \end{pmatrix} }[/math] und [math]\displaystyle{ T_q(2n) = 4T_q(n) + 2n^{(_2 7)} }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ T_q(n) = 4T_q(n/2) + 2/7(n)^{(_2 7)} }[/math].

Die geometrische Reihe liefert wegen [math]\displaystyle{ T_q(1) = 1 }[/math]: [math]\displaystyle{ T_q(n) = 64T_q(n/8) + 2/7n^{(_2 7)}(1+4/7 + (4/7)^2 + ...) = 2/7n^{(_2 7)} (1-(4/7)^{(_2n)})/(1-4/7) = 2/3n^{(_2 7)}.\square }[/math]

Siehe auch

Liste mathematischer Symbole