Satz von Catalan: Unterschied zwischen den Versionen
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Für <math>1 + x^m = y^n</math> mit <math>m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}</math> existiert nur die Lösung <math>m_0 = 3</math>, <math>n_0 = 2</math>, <math>x_0 = 2</math> und <math>y_0 = 3</math>. | Für <math>1 + x^m = y^n</math> mit <math>m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}</math> existiert nur die Lösung <math>m_0 = 3</math>, <math>n_0 = 2</math>, <math>x_0 = 2</math> und <math>y_0 = 3</math>. | ||
| − | '''Indirekter Beweis:''' Die Annahme <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> ergibt den Widerspruch <math>1 + x^m \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0</math> bzw. <math>4</math> mod <math>8</math>. Mit <math>p \mid y,\ x = \hat{r},\ y = \hat{s} + 1</math> und <math>2 < m \ne n > 2</math> werde im Folgenden <math>(\hat{s} + 1)^n - 1 \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{P}_{\ge 3}</math> angenommen. Dann gilt auch <math>(\hat{s} + 1)^{\hat{n}} - 1 = (\hat{s} + 2)^n\ \hat{s}^n \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p</math> und <math>2^{kn}(t^2 + t)^n\ 2^{-gn} \equiv 2^{lm} | + | '''Indirekter Beweis:''' Die Annahme <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> ergibt den Widerspruch <math>1 + x^m \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0</math> bzw. <math>4</math> mod <math>8</math>. Mit <math>p \mid y,\ x = \hat{r},\ y = \hat{s} + 1</math> und <math>2 < m \ne n > 2</math> werde im Folgenden <math>(\hat{s} + 1)^n - 1 \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{P}_{\ge 3}</math> angenommen. Dann gilt auch <math>(\hat{s} + 1)^{\hat{n}} - 1 = (\hat{s} + 2)^n\ \hat{s}^n \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p</math> und <math>2^{kn}(t^2 + t)^n\ 2^{-gn} \equiv 2^{lm}r^m \equiv 0</math> mod <math>2^{\text{max}(kn,\ lm)}</math> mit <math>t = \check{s}</math> und maximalem <math>g \in \mathbb{N}^{*}</math>, woraus <math>kn = lm</math> wegen <math>(t^2 + t)2^{-gn}, r^m \in \mathbb{N} \setminus 2\mathbb{N}</math> und sogar <math>m = n</math> im Widerspruch zur Voraussetzung folgt. Also bleibt einerseits <math>(\hat{s} + 1)^3 - 1 = \hat{r}^2</math> übrig, was sich durch die [[w:Primfaktorzerlegung|<span class="wikipedia">Primfaktorzerlegung</span>]] von <math>r</math> und <math>s</math> widerlegen lässt, und andererseits <math>(\hat{s} + 1)^2 - 1 = 4s(s + 1) = \hat{r}^3</math>, was ebenso <math>r = s = 1</math> ergibt und damit zur angegebenen Lösung führt.<math>\square</math> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 10. August 2024, 08:38 Uhr
Für [math]\displaystyle{ 1 + x^m = y^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] existiert nur die Lösung [math]\displaystyle{ m_0 = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ n_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_0 = 2 }[/math] und [math]\displaystyle{ y_0 = 3 }[/math].
Indirekter Beweis: Die Annahme [math]\displaystyle{ \acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N} }[/math] ergibt den Widerspruch [math]\displaystyle{ 1 + x^m \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ p \mid y,\ x = \hat{r},\ y = \hat{s} + 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ 2 \lt m \ne n \gt 2 }[/math] werde im Folgenden [math]\displaystyle{ (\hat{s} + 1)^n - 1 \equiv \hat{r}^m \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega}\mathbb{P}_{\ge 3} }[/math] angenommen. Dann gilt auch [math]\displaystyle{ (\hat{s} + 1)^{\hat{n}} - 1 = (\hat{s} + 2)^n\ \hat{s}^n \equiv \hat{r}^m \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ p }[/math] und [math]\displaystyle{ 2^{kn}(t^2 + t)^n\ 2^{-gn} \equiv 2^{lm}r^m \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 2^{\text{max}(kn,\ lm)} }[/math] mit [math]\displaystyle{ t = \check{s} }[/math] und maximalem [math]\displaystyle{ g \in \mathbb{N}^{*} }[/math], woraus [math]\displaystyle{ kn = lm }[/math] wegen [math]\displaystyle{ (t^2 + t)2^{-gn}, r^m \in \mathbb{N} \setminus 2\mathbb{N} }[/math] und sogar [math]\displaystyle{ m = n }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung folgt. Also bleibt einerseits [math]\displaystyle{ (\hat{s} + 1)^3 - 1 = \hat{r}^2 }[/math] übrig, was sich durch die Primfaktorzerlegung von [math]\displaystyle{ r }[/math] und [math]\displaystyle{ s }[/math] widerlegen lässt, und andererseits [math]\displaystyle{ (\hat{s} + 1)^2 - 1 = 4s(s + 1) = \hat{r}^3 }[/math], was ebenso [math]\displaystyle{ r = s = 1 }[/math] ergibt und damit zur angegebenen Lösung führt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]