Satz von Beal: Unterschied zwischen den Versionen
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Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c, d, e, s \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt <math>d :=</math> ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c, d, e, s \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt <math>d :=</math> ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | ||
| − | '''Beweis:''' Sei <math>(dc)^n - (db)^n = (da)^m</math> der notwendige Ansatz, um <math>d</math> herauszukürzen nach Rechnen modulo <math>d</math>. Dann | + | '''Beweis:''' Sei <math>(dc)^n - (db)^n = (da)^m</math> der notwendige Ansatz, um <math>d</math> herauszukürzen nach Rechnen modulo <math>d</math>. Dann zeigt verallgemeinert die Rücktransformation <math>(\cdot d^{sm})</math> von <math>c^n - b^n = e^m</math>, dass <math>b = 1</math>, <math>c = d</math> und <math>m \ne n</math> ist. Die zweite allgemeine Form <math>1 + d^n = e^m</math> ergibt ebenso die Behauptung durch Widerspruch.<math>\square</math> |
| − | '''Folgerung''': | + | '''Folgerung''': Wegen <math>m \ne n</math> kann <math>a^n + b^n = c^n</math> von keinem <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math> für beliebige <math>a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> erfüllt werden. Die [[w:Fermat-Catalan-Vermutung|<span class="wikipedia">Fermat-Catalan-Vermutung</span>]] lässt sich analog beweisen.<math>\square</math> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 6. August 2024, 00:21 Uhr
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c, d, e, s \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ d := }[/math] ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Sei [math]\displaystyle{ (dc)^n - (db)^n = (da)^m }[/math] der notwendige Ansatz, um [math]\displaystyle{ d }[/math] herauszukürzen nach Rechnen modulo [math]\displaystyle{ d }[/math]. Dann zeigt verallgemeinert die Rücktransformation [math]\displaystyle{ (\cdot d^{sm}) }[/math] von [math]\displaystyle{ c^n - b^n = e^m }[/math], dass [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c = d }[/math] und [math]\displaystyle{ m \ne n }[/math] ist. Die zweite allgemeine Form [math]\displaystyle{ 1 + d^n = e^m }[/math] ergibt ebenso die Behauptung durch Widerspruch.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung: Wegen [math]\displaystyle{ m \ne n }[/math] kann [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt werden. Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen.[math]\displaystyle{ \square }[/math]