Satz von Beal
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c, d, e, r, s \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ d := }[/math] ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Sei [math]\displaystyle{ (da)^n + (db)^m = (dc)^n }[/math] der nötige Ansatz, um [math]\displaystyle{ d }[/math] nach Rechnen mod [math]\displaystyle{ d }[/math] herauszukürzen. Wird verallgemeinert [math]\displaystyle{ b^s + e^m = c^s }[/math] wieder mit [math]\displaystyle{ d^{rm} }[/math] multipliziert, folgt [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c = d }[/math] und [math]\displaystyle{ s \ne m \notin 2\mathbb{N} }[/math]. Die zweite allgemeine Form [math]\displaystyle{ 1 + d^s = e^m }[/math] ergibt ebenso mit [math]\displaystyle{ m \ne s \notin 2\mathbb{N} }[/math] die Behauptung durch Widerspruch.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung: Wegen [math]\displaystyle{ m \ne s }[/math] wird [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt.