Satz von Beal
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c, d, e, s \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ d := }[/math] ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Sei [math]\displaystyle{ (dc)^n - (db)^n = (da)^m }[/math] der notwendige Ansatz, um [math]\displaystyle{ d }[/math] herauszukürzen nach Rechnen modulo [math]\displaystyle{ d }[/math]. Dann zeigt verallgemeinert die Rücktransformation [math]\displaystyle{ (\cdot d^{sm}) }[/math] von [math]\displaystyle{ c^n - b^n = e^m }[/math], dass [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c = d }[/math] und [math]\displaystyle{ m \ne n }[/math] ist. Die zweite allgemeine Form [math]\displaystyle{ 1 + d^n = e^m }[/math] ergibt ebenso die Behauptung durch Widerspruch.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung: Wegen [math]\displaystyle{ m \ne n }[/math] kann [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt werden. Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen.[math]\displaystyle{ \square }[/math]