Satz von Beal: Unterschied zwischen den Versionen
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Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | ||
| − | '''Beweis:''' | + | '''Beweis:''' Aus <math>b^n = (c^{kq}-a^{mr})\left(\tilde{c}^{k\acute{q}} + \tilde{a}^{m\acute{r}}\right) = c^k - a^m + c^{kq} \tilde{a}^{m\acute{r}} - \tilde{c}^{k\acute{q}} a^{mr}</math> folgt, dass die Funktion <math>f(q,r) := c^{k(\hat{q}-1)} - a^{m(\hat{r}-1)} = 0</math> stetig in <math>q, r \in {}^{\omega} \mathbb{R}_{>0}</math> ist und insbesondere die Lösung <math>(q_0, r_0) = \left(\check{1}, \check{1}\right)</math> besitzt. Jede weitere Lösung in Brüchen ergibt nach Potenzieren ggT<math>(a, c) > 1</math> und damit die Behauptung.<math>\square</math> |
| − | '''Folgerung''': | + | '''Folgerung''': Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT<math>(a, b, c) > 1</math> ergibt, dass <math>a^n + b^n = c^n</math> von keinem <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math> für beliebige <math>a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> erfüllt wird.<math>\square</math> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Aktuelle Version vom 1. Mai 2024, 18:41 Uhr
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Aus [math]\displaystyle{ b^n = (c^{kq}-a^{mr})\left(\tilde{c}^{k\acute{q}} + \tilde{a}^{m\acute{r}}\right) = c^k - a^m + c^{kq} \tilde{a}^{m\acute{r}} - \tilde{c}^{k\acute{q}} a^{mr} }[/math] folgt, dass die Funktion [math]\displaystyle{ f(q,r) := c^{k(\hat{q}-1)} - a^{m(\hat{r}-1)} = 0 }[/math] stetig in [math]\displaystyle{ q, r \in {}^{\omega} \mathbb{R}_{\gt 0} }[/math] ist und insbesondere die Lösung [math]\displaystyle{ (q_0, r_0) = \left(\check{1}, \check{1}\right) }[/math] besitzt. Jede weitere Lösung in Brüchen ergibt nach Potenzieren ggT[math]\displaystyle{ (a, c) \gt 1 }[/math] und damit die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung: Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1 }[/math] ergibt, dass [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt wird.[math]\displaystyle{ \square }[/math]