Satz von Beal: Unterschied zwischen den Versionen
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Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math> | ||
| − | '''Beweis:''' | + | '''Beweis:''' Mit <math>p \in {}^{\omega} \mathbb{P}</math> und <math>r, s \in {}^{\omega}\mathbb{Q}</math> führt der vorige Satz auf sämtliche nichttrivialen Darstellungen von <math>c^k > 1</math> als <math>(a^{m-r} + ib^{n-s})(a^r - ib^s) =c^k +i(a^rb^{n-s} - a^{m-r}b^s)</math>, wobei alle Beziehungen <math>a^{m-\hat{r}} = b^{n-\hat{s}}</math> dann <math>p \mid</math> ggT<math>(a, b, c)</math> sowie die Behauptung trotz gewisser (nicht-)rationaler <math>r</math> und <math>s</math> (Stetigkeit!) ergeben.<math>\square</math> |
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| + | '''Folgerung''': Der vorige Satz ermöglicht einen unendlichen Abstieg wegen ggT<math>(a, b, c) > 1</math>, sodass <math>a^n + b^n = c^n</math> von keinem <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math> für beliebige <math>a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> erfüllt wird.<math>\square</math> | ||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 1. März 2023, 03:41 Uhr
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Mit [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega} \mathbb{P} }[/math] und [math]\displaystyle{ r, s \in {}^{\omega}\mathbb{Q} }[/math] führt der vorige Satz auf sämtliche nichttrivialen Darstellungen von [math]\displaystyle{ c^k \gt 1 }[/math] als [math]\displaystyle{ (a^{m-r} + ib^{n-s})(a^r - ib^s) =c^k +i(a^rb^{n-s} - a^{m-r}b^s) }[/math], wobei alle Beziehungen [math]\displaystyle{ a^{m-\hat{r}} = b^{n-\hat{s}} }[/math] dann [math]\displaystyle{ p \mid }[/math] ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) }[/math] sowie die Behauptung trotz gewisser (nicht-)rationaler [math]\displaystyle{ r }[/math] und [math]\displaystyle{ s }[/math] (Stetigkeit!) ergeben.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Folgerung: Der vorige Satz ermöglicht einen unendlichen Abstieg wegen ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1 }[/math], sodass [math]\displaystyle{ a^n + b^n = c^n }[/math] von keinem [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] für beliebige [math]\displaystyle{ a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] erfüllt wird.[math]\displaystyle{ \square }[/math]