Satz von Beal
Für [math]\displaystyle{ a^m + b^n = c^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] gilt ggT[math]\displaystyle{ (a, b, c) \gt 1. }[/math]
Beweis: Aus [math]\displaystyle{ (a^{\check{m}} + ib^{\check{n}})^2 (a^{\check{m}} - ib^{\check{n}})^2 = (pq)^{2k} = (a^m + b^n - 2b^{\check{n}}(b^{\check{n}} - ia^{\check{m}}))(a^m + b^n - 2b^{\check{n}}(b^{\check{n}} + ia^{\check{m}})) = c^{2k} \gt 1 }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{P} }[/math] und [math]\displaystyle{ q \in \mathbb{N}^{*} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ d^2(pq)^k = 4b^n }[/math] für [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{N}^{*} }[/math] und damit [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] sowie die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]