Satz von Catalan: Unterschied zwischen den Versionen
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Für <math>1 + x^m = y^n</math> mit <math>m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}</math> existiert nur die Lösung <math>m_0 = 3</math>, <math>n_0 = 2</math>, <math>x_0 = 2</math> und <math>y_0 = 3</math>. | Für <math>1 + x^m = y^n</math> mit <math>m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}</math> existiert nur die Lösung <math>m_0 = 3</math>, <math>n_0 = 2</math>, <math>x_0 = 2</math> und <math>y_0 = 3</math>. | ||
| − | '''Indirekter Beweis:''' | + | '''Indirekter Beweis:''' Nach dem [[Satz von Beal]] muss m = 3 und n = 2 gelten, da umgekehrt für <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> sich die Widersprüche <math>1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0</math>, <math>1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> und <math>1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> mod <math>8</math> ergeben. Für <math>\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4}</math> folgt ferner der Widerspruch <math>1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2</math> mod <math>4^{\acute{m}}</math>. Also bleibt <math>1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2 \equiv 1 + 8(x - s) \equiv 1 + 8s \equiv 1</math> mod <math>8</math> übrig, was direkt zur angegebenen Lösung führt.<math>\square</math> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 10. August 2024, 17:22 Uhr
Für [math]\displaystyle{ 1 + x^m = y^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] existiert nur die Lösung [math]\displaystyle{ m_0 = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ n_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_0 = 2 }[/math] und [math]\displaystyle{ y_0 = 3 }[/math].
Indirekter Beweis: Nach dem Satz von Beal muss m = 3 und n = 2 gelten, da umgekehrt für [math]\displaystyle{ \acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N} }[/math] sich die Widersprüche [math]\displaystyle{ 1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ 1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] ergeben. Für [math]\displaystyle{ \acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4} }[/math] folgt ferner der Widerspruch [math]\displaystyle{ 1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 4^{\acute{m}} }[/math]. Also bleibt [math]\displaystyle{ 1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2 \equiv 1 + 8(x - s) \equiv 1 + 8s \equiv 1 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] übrig, was direkt zur angegebenen Lösung führt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]