Satz von Catalan: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Es gilt <math>\{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\}</math>. | |
| − | '''Indirekter Beweis:''' Der [[Satz von Beal]] zeigt m = 3 und n = 2 auf, da umgekehrt für <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> sich die Widersprüche <math>1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0</math>, <math>1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> und <math>1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> mod <math>8</math> ergeben. Für <math>\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4}</math> folgt ferner der Widerspruch <math>1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2</math> mod <math>4^{\acute{m}}</math>. Also bleibt <math>1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2</math>, <math>2{\hat{x}}^3 = s^3(s^3 + 1)</math> bzw. <math>y^3 - z^3 = z^3 - 1</math> mit <math>y, z \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> übrig, was die Lösung liefert.<math>\square</math> | + | '''Indirekter Beweis:''' Der [[Satz von Beal]] zeigt <math>m = 3</math> und <math>n = 2</math> auf, da umgekehrt für <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> sich die Widersprüche <math>1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0</math>, <math>1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> und <math>1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0</math> mod <math>8</math> ergeben. Für <math>\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4}</math> folgt ferner der Widerspruch <math>1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2</math> mod <math>4^{\acute{m}}</math>. Also bleibt <math>1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2</math>, <math>2{\hat{x}}^3 = s^3(s^3 + 1)</math> bzw. <math>y^3 - z^3 = z^3 - 1</math> mit <math>y, z \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> übrig, was die Lösung liefert.<math>\square</math> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Version vom 11. August 2024, 07:24 Uhr
Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\} }[/math].
Indirekter Beweis: Der Satz von Beal zeigt [math]\displaystyle{ m = 3 }[/math] und [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] auf, da umgekehrt für [math]\displaystyle{ \acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N} }[/math] sich die Widersprüche [math]\displaystyle{ 1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ 1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] ergeben. Für [math]\displaystyle{ \acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4} }[/math] folgt ferner der Widerspruch [math]\displaystyle{ 1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 4^{\acute{m}} }[/math]. Also bleibt [math]\displaystyle{ 1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2 }[/math], [math]\displaystyle{ 2{\hat{x}}^3 = s^3(s^3 + 1) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ y^3 - z^3 = z^3 - 1 }[/math] mit [math]\displaystyle{ y, z \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] übrig, was die Lösung liefert.[math]\displaystyle{ \square }[/math]