Satz von Catalan: Unterschied zwischen den Versionen
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Es gilt <math>\{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\}</math>. | Es gilt <math>\{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\}</math>. | ||
| − | '''Indirekter Beweis:''' Seien <math>\overset{\scriptsize{\grave{}}}{r}, s, t \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math>. Der | + | '''Indirekter Beweis:''' Seien <math>\overset{\scriptsize{\grave{}}}{r}, s, t \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math>. Der [[Satz von Beal]] zeigt min<math>(m, n) = 2</math> auf. Aus <math>\acute{n} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}</math> folgt <math>1 + x^2 \equiv 2 \ne 0 \equiv 2^n{\check{y}}^n</math> mod <math>8</math> und <math>1 + 4{\check{x}}^2 = (1 + \acute{y})^n</math> bzw. <math>4{\check{x}}^2 = \acute{y}({\acute{y}}^{\acute{n}} + ... + 1)</math> mit <math>\acute{y} = 4z \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>1 + 4{\check{x}}^2 \equiv r \ne 1\text{-} \equiv (1+ 4z)^n</math> mod <math>(2+ 4z)</math>, da ggT<math>(x, 2 + 4z) \nmid (1 + 4z)</math> wegen <math>{\check{x}}^2 > z</math> gilt<ref name="Ribenboim">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 3411148411, S. 197.</ref>. Aus <math>\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4}</math> folgt <math>1 + x^m \ne y^2</math> wegen <math>x^m \ne s^m(2 + s^m)</math> und <math>t^m \ne 2 + s^m</math>. Also bleibt <math>1 + {8\check{x}}^3 = (1 + 4\check{y}^2)^2</math>, <math>2{\check{x}}^3 = s^3(1 + s^3)</math> bzw. <math>s^3 - t^3 = t^3 - 1</math> übrig und liefert die angegebene Lösung.<math>\square</math> |
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Version vom 15. August 2024, 04:43 Uhr
Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\} }[/math].
Indirekter Beweis: Seien [math]\displaystyle{ \overset{\scriptsize{\grave{}}}{r}, s, t \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math]. Der Satz von Beal zeigt min[math]\displaystyle{ (m, n) = 2 }[/math] auf. Aus [math]\displaystyle{ \acute{n} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ 1 + x^2 \equiv 2 \ne 0 \equiv 2^n{\check{y}}^n }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] und [math]\displaystyle{ 1 + 4{\check{x}}^2 = (1 + \acute{y})^n }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ 4{\check{x}}^2 = \acute{y}({\acute{y}}^{\acute{n}} + ... + 1) }[/math] mit [math]\displaystyle{ \acute{y} = 4z \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ 1 + 4{\check{x}}^2 \equiv r \ne 1\text{-} \equiv (1+ 4z)^n }[/math] mod [math]\displaystyle{ (2+ 4z) }[/math], da ggT[math]\displaystyle{ (x, 2 + 4z) \nmid (1 + 4z) }[/math] wegen [math]\displaystyle{ {\check{x}}^2 \gt z }[/math] gilt[1]. Aus [math]\displaystyle{ \acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ 1 + x^m \ne y^2 }[/math] wegen [math]\displaystyle{ x^m \ne s^m(2 + s^m) }[/math] und [math]\displaystyle{ t^m \ne 2 + s^m }[/math]. Also bleibt [math]\displaystyle{ 1 + {8\check{x}}^3 = (1 + 4\check{y}^2)^2 }[/math], [math]\displaystyle{ 2{\check{x}}^3 = s^3(1 + s^3) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ s^3 - t^3 = t^3 - 1 }[/math] übrig und liefert die angegebene Lösung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Siehe auch
Einzelnachweis
- ↑ Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 3411148411, S. 197.