Satz von Catalan: Unterschied zwischen den Versionen

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(Satz von Catalan)
 
K (Satz von Catalan)
 
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Für <math>1 + x^m = y^n</math> mit <math>m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}</math> existiert nur die Lösung <math>m_0 = 2</math>, <math>n_0 = 3</math>, <math>y_0 = 3</math> und <math>s_0 = 2</math>.
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Es gilt <math>\{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\}</math>.
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'''Indirekter Beweis:''' Die Annahme <math>\acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N}</math> ergibt den Widerspruch <math>1 + x^m \equiv 2\ (2) \equiv 0\ (4) \equiv y^n</math> mod <math>8</math>. Mit <math>p \mid y,\ x = \hat{r},\ y = \hat{s} + 1</math> und <math>2 < m \ne n > 2</math> werde im Folgenden <math>((\hat{s} + 1)^n - 1 \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{P}_{\ge 3}</math> angenommen. Dann gilt auch <math>(\hat{s} + 1)^{\hat{n}} - 1 = (\hat{s} + 2)^n\ \hat{s}^n \equiv \hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>p</math> und <math>2^{kn}(t^2 + t)^n\ 2^{-gn} \equiv 2^{lm}\hat{r}^m \equiv 0</math> mod <math>2^{\text{max}(kn,\ lm)}</math> mit maximalem <math>g \in \mathbb{N}^{*}</math>, woraus <math>kn = lm</math> wegen <math>(t^2 + t)2^{-gn}, \hat{r}^m \in \mathbb{N} \setminus 2\mathbb{N}</math> und sogar <math>m = n</math> im Widerspruch zur Voraussetzung folgt. Also bleibt einerseits <math>(\hat{s} + 1)^3 - 1 = \hat{r}^2</math> übrig, was sich durch die Primfaktorenzerlegung von <math>r</math> und <math>s</math> widerlegen lässt, und andererseits <math>(\hat{s} + 1)^2 - 1 = 4s(s + 1) = \hat{r}^3</math>, was <math>r = s = 1</math> ergibt und damit zur angegebenen Lösung führt.<math>\square</math>
 
  
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'''Indirekter Beweis:''' Der [[Satz von Beal]] ergibt min<math>(m, n) = 2</math>. Mit <math>\acute{n} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}</math> zeigt Quadrieren <math>1 + 4{\check{x}}^2 = (1 + \acute{y})^n</math> und <math>(1 + 2^rz)^n \equiv 1 + 2^r{\check{x}}^2 \equiv 1</math> mod <math>2^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{r}}</math> für <math>\acute{y} = 4z</math> und alle <math>r \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math> sowie <math>1 + x^2 \equiv 2 \ne 0 \equiv 2^n{\check{y}}^n</math> mod <math>8</math>. Aus <math>\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}</math> und <math>s \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> folgt <math>x^m = \acute{y}\overset{\scriptsize{\grave{}}}{y}</math> mit <math>s^m \ne \acute{y} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}</math> und es gilt <math>x^m = 8\check{s}\acute{s} = 8.\square</math>
 
== Siehe auch ==
 
== Siehe auch ==
 
* [[Liste mathematischer Symbole]]
 
* [[Liste mathematischer Symbole]]

Aktuelle Version vom 20. August 2024, 01:43 Uhr

Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\} }[/math].

Indirekter Beweis: Der Satz von Beal ergibt min[math]\displaystyle{ (m, n) = 2 }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \acute{n} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*} }[/math] zeigt Quadrieren [math]\displaystyle{ 1 + 4{\check{x}}^2 = (1 + \acute{y})^n }[/math] und [math]\displaystyle{ (1 + 2^rz)^n \equiv 1 + 2^r{\check{x}}^2 \equiv 1 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 2^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{r}} }[/math] für [math]\displaystyle{ \acute{y} = 4z }[/math] und alle [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ 1 + x^2 \equiv 2 \ne 0 \equiv 2^n{\check{y}}^n }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math]. Aus [math]\displaystyle{ \acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ x^m = \acute{y}\overset{\scriptsize{\grave{}}}{y} }[/math] mit [math]\displaystyle{ s^m \ne \acute{y} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*} }[/math] und es gilt [math]\displaystyle{ x^m = 8\check{s}\acute{s} = 8.\square }[/math]

Siehe auch

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