Satz von Catalan
Für [math]\displaystyle{ 1 + x^m = y^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n, x, y \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] existiert nur die Lösung [math]\displaystyle{ m_0 = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ n_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_0 = 2 }[/math] und [math]\displaystyle{ y_0 = 3 }[/math].
Indirekter Beweis: Nach dem Satz von Beal muss m = 3 und n = 2 gelten, da umgekehrt für [math]\displaystyle{ \acute{x}, y \in {}^{\omega}2\mathbb{N} }[/math] sich die Widersprüche [math]\displaystyle{ 1 + x^2 \equiv 2 \equiv y^n \equiv 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 + 4x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ 1 + 16x^m \equiv 5 \equiv y^n \equiv 0 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] ergeben. Für [math]\displaystyle{ \acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}_{\ge 4} }[/math] folgt ferner der Widerspruch [math]\displaystyle{ 1 + 2^mx^m \equiv (1 + 2^{\acute{m}}s)^2 \equiv 1 + 2^ms + 4^{\acute{m}}s^2 \equiv y^2 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 4^{\acute{m}} }[/math]. Also bleibt [math]\displaystyle{ 1 + {\hat{x}}^3 = (\hat{y}^2 + 1)^2 \equiv 1 + 8(x - s) \equiv 1 + 8s \equiv 1 }[/math] mod [math]\displaystyle{ 8 }[/math] übrig, was direkt zur angegebenen Lösung führt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]